齐次线性方程组和非齐次线性方程组的对比
| 齐次 \(Ax=0\) | 非齐次 \(Ax=b\) | |
|---|---|---|
| 常数项 | 全为 0 | 不全为 0 |
| 是否有解 | 一定有（至少零解） | 需判定 \(r(A)=r(A|b)\) |
| 解的结构 | 纯零空间 | 特解 和 零空间 |
| 解的个数 | 零解 或 无穷多解 | 无解 / 唯一解 / 无穷多解 |
| 自由变量个数 | \(n-r(A)\) | \(n-r(A)\)（有解时） |
齐次看秩与未知数个数的关系，非齐次先看增广矩阵的秩是否相等，再套特解和齐次通解的公式。
解的定义
基础解系
定义：齐次方程组 \(Ax=0\) 的解空间中，一组线性无关的解向量，且方程组的所有解都能由它们线性表示。它是一组最精简的解，其他所有解都是它们的线性组合。
特点：
- 基础解系中向量的个数 = \(n - r(A)\)（自由变量的个数）。
- 基础解系不唯一，但向量个数固定。
- 每个自由变量对应一个基础解向量。
解空间
齐次方程组的全部解构成一个向量空间，叫做零空间或解空间，记作 \(\text{Nul}(A)\)。
其维数： \(\dim(\text{Nul}(A)) = n - r(A)\)
例子： \(\begin{cases} x+y+z=0\\ x-y+z=0 \end{cases}\)
行变换后： \(\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}\)
- 主变量：\(x, y\)
- 自由变量：\(z=t\)
- 解：\(x=-t,\ y=0,\ z=t\)
即： \(x = t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\)
解空间是一维的直线。
特解
定义：非齐次方程组 \(Ax=b\) 的任意一个满足方程的确定解。
通俗理解：特解就是“随便找到一个具体的解”，不需要包含所有情况，只要它满足方程就行。
例子： \(x+y=3\) 取 \(x=1, y=2\)，则 \((1,2)^T\) 就是一个特解。取 \(x=0, y=3\) 也行，特解不唯一。
通解
定义：方程组所有解的统一表达式。
齐次方程的通解： \(x = c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \cdots + c_k\xi_k\) 其中 \(\xi_1,\dots,\xi_k\) 是基础解系，\(c_1,\dots,c_k\) 是任意常数。
非齐次方程的通解： \(x = \eta^* + c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \cdots + c_k\xi_k\) 其中 \(\eta^*\) 是一个特解，\(\xi_i\) 是对应齐次方程的基础解系。
通俗理解：通解 = 一个特解 + 齐次通解。特解负责“找到一个落脚点”，齐次通解负责“在解空间里自由移动”。
齐次线性方程组
定义：形如 \(Ax = 0\) 的方程组，常数项全为 0。
\[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0\\ \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}\]解的性质：
- 一定有零解 \(x=0\)。
- 解集构成一个向量空间，即零空间/解空间。
- 若 \(r(A)<n\)，则有非零解，且有无穷多解。
- 若 \(r(A)=n\)，则只有零解。
通解形式：由基础解系线性组合而成。
非齐次线性方程组
定义：形如 \(Ax=b\)，且 \(b\neq 0\)。
解的情况：
- \(r(A)<r(A\mid b)\)：无解。
- \(r(A)=r(A\mid b)=n\)：唯一解。
- \(r(A)=r(A\mid b)<n\)：无穷多解。
通解形式： \(\boxed{\text{非齐次通解} = \text{一个特解} + \text{齐次通解}}\)
几何理解
- 齐次解空间是过原点的直线/平面（向量空间）。
- 非齐次解集是把这条直线/平面平移到特解的位置，不过原点，即仿射空间。
例子
方程组： \(\begin{cases} x+y+z=3\\ x-y+z=1 \end{cases}\)
第一步：求对应齐次方程 \(Ax=0\) 的基础解系。 行变换后得 \(y=0\)，\(x+z=0\)。令 \(z=t\)，则 \(x=-t\)。 基础解系：\(\{(-1,0,1)^T\}\)。
第二步：找特解 令 \(z=0\)，解得 \(x=2, y=1\)。特解：\((2,1,0)^T\)。
第三步：写通解 \(x = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}, \quad c\in\mathbb{R}\)