拉普拉斯分布
2017-06-04
拉普拉斯分布的概率密度函数如下：
\[f(x|u,b)=\frac{1}{2b}e^{-\frac{|x-u|}{b}}\]概率累计函数如下：
\[F(x|u,b)=\left\{ \begin{aligned} & \frac{1}{2b}e^{-\frac{u-x}{b}},x<u\\ & 1-\frac{1}{2b}e^{-\frac{x-u}{b}},x \geq u\\ \end{aligned} \right.\]推导如下：
当x<u时，\(f(x|u,b)=\frac{1}{2b}e^{-\frac{|x-u|}{b}}\)
\(F(x|u,b)=\frac{1}{2b}\int^{x}_{-\infty}e^{-\frac{u-x}{b}}dx=\frac{1}{2b}\int^{x}_{-\infty}e^{\frac{x-u}{b}}dx\)
令\(t=\frac{x-u}{b}\)，带入上式得：
\[F(x|u,b)=\frac{1}{2b}\int^{\frac{x-u}{b}}_{-\infty}b*e^tdt=\frac{1}{2}\int^{\frac{x-u}{b}}_{-\infty}e^tdt\]当\(x \geq u\)时
\[F(x|u,b)=\frac{1}{2b}\int^{x}_{-\infty}e^{-\frac{u-x}{b}}dx=1-\frac{1}{2b}\int^{+\infty}_{x}e^{-\frac{u-x}{b}}dx\]由拉普拉斯分布的对称性可知，
\[上式=1-\frac{1}{2b}\int^{x}_{-\infty}e^{-\frac{u-x}{b}}dx=1-\frac{1}{2}e^{-\frac{u-x}{b}}\]求期望：
\[E(x)=\frac{1}{2b}(\int^{U}_{-\infty}x*e^{-\frac{u-x}{b}}dx+\int^{+\infty}_{u}x*e^{\frac{u-x}{b}}dx)\]令\(t_{1}=-\frac{u-x}{b}\) 则\(x=u+bt_{1}\)， 令\(t_{2}=\frac{u-x}{b}\) 则\(x=u-bt_{2}\)
\[上式=\frac{1}{2b}(\int^{0}_{-\infty}b*(b*t_{1}+u)*e^{t_{1}}dt_{1}+\int^{-\infty}_{0}(-b)*(u-b*t_{2})dt_{2})\] \[=\frac{1}{2b}\int^{0}_{-\infty}b*((b*t+u)+(u-b*t))*e^tdt=\int^0_{-\infty}u*e^tdt=u\]求方差：
\[D(x)=E(x^2)-E^2(x)\] \[=\frac{1}{2b}(\int^u_{-\infty}x^2*e^{-\frac{u-x}{b}}dx+\int^{+\infty}_ux^2*e^{\frac{u-x}{b}}dx)-u^2\] \[=\frac{1}{2b}\int^{0}_{-\infty}b*((b*t+u)^2+(u-b*t)^2)*e^tdt-u^2\] \[=\frac{1}{2b}\int^{0}_{-\infty}2b*(b^2*t^2+u^2)*e^tdt-u^2\] \[=b^2\int^0_{-\infty}t^2*e^tdt=b^2\int^0_{-\infty}t^2de^t=2b^2\]